順列とは
順列は、ある集合に含まれる要素を順番に並べること、を指します。
たとえば、数字や文字、オブジェクトの並び順を決める際に使います。
また、順列が何通りあるかの数を、「順列の総数」といったりします。
順列の総数の求め方としては樹形図と計算の二つの求め方があります。今回は計算での求め方を紹介していきます。
計算方法として、n個の異なる要素からr個を選んで並べる順列の総数は、nPrという記号で表され、次の公式を用いて計算されます。
nPr=n! /(n−r)!
n!（エヌの階乗）は、nから1までの整数を掛け合わせた値です。
たとえば、5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120 となります。
具体例
3つの文字「A」「B」「C」を並べる順列を考えます。
n = 3、r = 3なので、
3P3 = 3! = 6通りの順列があります。
実際に書き出すと、
「ABC」
「ACB」
「BAC」
「BCA」
「CAB」
「CBA」
となります。
重複順列
続いて、重複順列について解説します。
n個の中に同じものが p 個、q 個、r 個、……ずつあるときの並べ方の総数は次の公式を用いて計算されます。
n! / p! q! r!
ここで、p 、q、r…を足していけばnになります。（p+q+r+⋯=n）
具体例
４つの数字「1」「1」「2」「3」を並べる順列を考えます。
１という数字は並べるときに同じ要素(重複)として処理されるので、
n=4、p=2、q=1、r=1となります。
4! / 2! 1! 1! ＝12通りの順列と表されます。
実際に書き出すと、
「1123」
「1132」
「1213」
「1231」
「1312」
「1321」
「2113」
「2131」
「2311」
「3112」
「3121」
「3211」
となります。
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